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题目描述

现有两组数字，每组 kk 个。

第一组中的数字分别用 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$表示，第二组中的数字分别用 $b_1,b_2,\cdots ,b_k$表示。

其中第二组中的数字是两两互素的。求最小的 $n\in \mathbb{N}$，满足对于 $\forall i\in [1,k]$，有 $b_i|(n-a_i)$

输入格式

第一行一个整数 kk。

第二行 kk 个整数，表示：$a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 。

第三行 kk 个整数，表示：$b_1,b_2,\cdots ,b_k$ 。

输出格式

输出一行一个整数，为所求的答案 n。

输入输出样例

输入

31 2 32 3 5

输出

23

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据：

$1\le k\le 10，|a_i|\le 10^9，1\le b_i\le 6\times 10^3，{\prod }_{i=1}^k{b}_i\le 10^{18}$

每个测试点时限 1 秒。

注意：对于 C/C++ 语言，对 64 位整型数应声明为 long long。

若使用 scanf，printf 函数（以及 fscanf，fprintf 等），应采用 %lld 标识符。

题解

问题转化为：

$$\begin{gathered} ⎧ \\ ⎪ans\equiv a_1(mod{b}_1) \\ ⎪ans\equiv a_2(mod{b}_2) \\ ⎨\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\ ⎪ans\equiv a_n(mod{b}_n) \\ ⎩ \end{gathered}$$

所以用很 再加上龟速乘解决数值大的问题即可。 CRT的做法：👆链接里的另一篇真正的模板CRT，此篇就省略了。

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这里讲下龟速乘（本人第一次用 ）

由于数据的值太大，直接相乘易爆，于是需要用一个类似快速幂的算法———龟速乘 其实它的思想跟快速幂很像，所以有人叫它快速乘，但其实它的速度并不快。 假如要算$15\ast 11\%mod$ $11$ 的二进制为$1011$，也就是$11=8+0+2+1$ 即$15\ast 11=15\ast 8+15\ast 0+15\ast 2+15\ast 1$ 而$15\ast 2=15+15，15\ast 4=30+30，15\ast 8=60+60$

也就是说

15即第一个乘数记为 $a$，11即第二个乘数的二进制记为 $b$。 我们从二进制的低位往高位逐位进行两个操作：若 $b_i=1$ 则 $ans+=a$；$a+=a$ 所以我们就这样将一个乘法活生生变成了加法，且每次加法都可以$\%mod$ 就不用担心爆掉了。 代码如下：

ll fmul(ll a,ll b,ll c){
   	ll sum=0;	while(b)	{
   		if(b&1) sum=(sum+a)%c; //若此位为 1，则加上		a=(a+a)%c;		b>>=1; //右移一位	}	return sum;}

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但本题还有个坑人的地方：

再仔细看看数据规模：$|a_i|\le 10^9$ 也就是说，a可以是负数，所以要加些特别的处理（👇注释中有说），且快读要判负！

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代码

#include
   
    #include
    
     #define ll long longusing namespace std;ll n,m=1,ans,t,x,y,a[20],b[20];ll read(){
   	int x=0,t=1;	char c=getchar();	while(c>'9'||c<'0')	{
   		if(c=='-') t=-1;		c=getchar();	}	while(c>='0'&&c<='9')	{
   		x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;		c=getchar();	}	return x*t;}ll fmul(ll a,ll b,ll c)//龟速乘{
   	ll sum=0;	while(b)	{
   		if(b&1) sum=(sum+a)%c;		a=(a+a)%c;		b>>=1;	}	return sum;}void exgcd(ll a,ll b)//求逆元{
   	if(b==0)	{
   		x=1;		y=0;		return;	}	exgcd(b,a%b);	int t=x;	x=y;	y=t-a/b*y;}int main(){
   	n=read();	for(int i=1; i<=n; i++)	{
   		b[i]=read();//a,b反着输入，CRT处理习惯问题	}	for(int i=1; i<=n; i++)	{
   		a[i]=read();		m*=a[i];	}	for(int i=1;i<=n;i++) 	{
   		b[i]=(b[i]%a[i]+a[i])%a[i];//特殊处理，以防负数	}	for(int i=1; i<=n; i++)	{
   		t=m/a[i];		x=y=0;		exgcd(t,a[i]);		x=(x%a[i]+a[i])%a[i];//特殊处理，以防负数		ans=(ans+fmul(fmul(x,t,m),b[i],m))%m;//记得用龟速乘	}	cout<
    
   

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